수학 (95) 썸네일형 리스트형 도박사 드 메레의 판돈 분배 문제 드 메레(Chevalier de Mere)는 당시 명성이 높은 수학자 파스칼(Pascal, 1623~1662)에게 ‘도박 중 게임이 중단되었을 때 판돈을 어떻게 나누는 것이 가장 합리적인가?’라는 문제를 제기했다. 메레가 편지에서 파스칼에게 의뢰한 문제는 어느 한 사람과 32 피스톨(유럽의 옛 금화)씩 판돈을 걸고 이긴 사람이 64 피스톨을 갖는 주사위 게임을 하고 있었다. 자기가 선택한 수가 먼저 3회 나오면 이기는 것으로 정하고 두 사람이 주사위 굴리기를 계속해서 메레가 선택한 수 6이 2회, 상대방이 선택한 수 4가 1회 나온 상황에서 부득이한 사정으로 게임을 중단하게 되었다. 이 경우 판돈 64 피스톨을 어떻게 분배할 것인가? 메레의 상대 선수는 다음과 같이 주장했다. 메레는 나머지 1회, 자신은.. 심프슨의 역설(simpson’s paradox) 심프슨의 역설은 각 소집단에서 보이는 경향이 전체 집단에서도 같다고 생각할 수 없다는 것이다. 따라서, 여론조사 등에서 지역별 통계를 구해 어떤 특성을 파악하게 되었다고 해도 전체 통계에서도 그러한 특성이 있다고 볼 수 없다. 이러한 현상은 많이 발생되는 오류로 대부분의 사람은 이를 의심 없이 받아들이는 경향이 있다. [표 1]은 A 대학교의 전기전자과와 약학과에 지원한 학생 수와 합격한 학생 수를 나타낸 표이다. [표 1 ] A 대학교 지원자 수(합격자 수) A대학교 남자 여자 계 전기전자과(정원 108명) 100(80) 80(48) 180(108) 약학과(정원 50명) 40(20) 60(30) 100(50) 계 140(80) 140(78) 280(158) [표 2]는 전기전자과의 합격률을 나타낸 것이.. 소수 관련 미해결 문제 소수 관련 미해결 난제가 많이 남아있는데 그중 대표적인 것은 골드바흐의 추측이다. 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach, 1690~1764)는 자신이 생각한 추측을 오일러에게 편지로 보내는데 그것이 골드바흐의 추측이다. 이 문제는 20세기 수학계 최대의 난제 중 하나로 힐베르트가 제안한 23개의 난제에 포함되어 있다. 골드바흐의 강한 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 골드바흐의 약한 추측: 5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 골드바흐가 처음 제안한 추측은 ‘2보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다’로 골드바흐의 약한 추측과 동치이다. 당시 골드바흐는 1을 소수로 간주하였다. 강한 추측이 참이면 약한 추측은 참이지만 그.. 무한 개념에 대하여 고대 그리스의 수학에도 무한 개념은 존재하였다. 다만 그 개념이 명확하게 정의되지 않은 상태였다. 제논은 역설을 통하여 당시 사람들이 생각하는 무한 개념의 모순점을 지적하였다. 그 당시엔 제논이 제시한 역설을 반박하기가 매우 어려웠으며, 이런 역설로 인하여 사회를 어지럽힌다.라는 이유로 왕에게 미움을 받아 처형당했다. 하지만 제논의 역설은 오랜 기간 동안 해결하기 위해 많이 논의되어왔고 수학의 발전에 많은 영향을 끼쳤다. 19세기 초 코시(Augustin Louis Cauchy, 1789~1857)가 무한급수의 특성, 연속, 극한에 대하여 명확하게 규정하고, 19세기말 게오르크 칸토어(Georg Cantor, 1845~1918)의 무한집합론이 나오면서 직선 위의 실수는 자연수처럼 하나씩 셀 수 있는 무한.. 수학으로 본 세 명의 총잡이 결투(게임이론) 세 명의 총잡이가 서로 결투를 벌인다. - Mr. Black은 명중률 100%이다. - Mr. Gray는 명중률 70%이다. - Mr. White는 명중률 30%이다. 세 명의 총잡이들은 서로의 사격 실력을 알고 있다. 서로의 실력 차를 고려하여 White-Gray-Black 순으로 총을 쏘고 한 번에 한 발만 쏠 수 있다. 총알은 무한하며 한 사람만 살아날 때까지 결투는 계속된다. 이때, Mr. White는 생존률을 높이기 위해 어떻게 쏴야 하는가? 화이트가 선공의 기회를 갖고 있으므로 블랙과 그레이중 누굴 쏠 것인지 선택해야 한다. 블랙을 명중시킨 경우, 그레이를 명중시킨 경우, 명중시키지 못한 경우, 세 가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다. ⅰ) 화이트가 블랙을 쏴 성공한 경우 그레이가 선제공격.. 게임이론과 존 내쉬 영화 뷰티풀 마인드(A Beautiful Mind)는 수학자 존 내쉬(John Forbes Nash, 1928~2015)의 일대기를 그린 영화입니다. 존 내쉬는 미국의 수학자로 22세에 박사 논문으로 쓴 으로 1994년 66세가 되어서 게임이론에 중요한 역할을 한 이 논문으로 노벨경제학상을 수상하였다. 또, 2015년엔 편미분방정식을 통한 다양체 연구에 대한 업적으로 아벨상을 수상하였다. 30대 초반 필즈상 후보에 올랐으나 아직 젊어 나중에 얼마든지 수상할 기회가 있을 것으로 생각하여 다른 후보에게 필즈상을 주었는데 그 이후에 조현병이 발병되면서 필즈상은 받지 못하였다. 존 내시가 대학원에 진학할 때 당시 지도교수였던 Richard Duffin이 ‘이 학생은 수학 천재입니다(he is a mathemat.. 확률에서 꼭 알아야 하는 파스칼의 삼각형 파스칼의 삼각형은 중국 가헌이란 사람이 처음 생각한 것으로 알려져 있다. 중국에서 유럽으로 전파되면서 파스칼이 흥미로운 성질을 많이 발견하여 파스칼의 삼각형으로 알려져 있다. 파스칼의 삼각형은 어떤 성질이 있는지 살펴보자. 《성질1》 파스칼의 삼각형은 [그림1]과 같이 각 행의 시작과 끝은 1로 하고 옆의 두 숫자를 더하여 아랫줄 가운데 써 내려간 삼각형이다. [그림1]을 조합(Combination)으로 나타낸 것이 [그림2]이다. [그림 1]에서 각 행의 숫자는 아래와 같이 이항정리에서 각 항의 계수를 나타내고 있다. 아래에서와 같이 조합으로 나타낸 파스칼의 삼각형도 이항정리의 계수를 의미한다. 《성질2》 파스칼 삼각형에서 각 행의 합은 [그림 3]과 [그림 4]와 같이 2의 거듭제곱으로 나타내어진다... 시그마 n번 어떻게 계산할까? 난이도가 매우 높은 문제로 시그마를 n번 계산을 어떻게 할까? 아마도 많은 학생들이 시작부터 어떻게 해야 할지 막막할 것이다. 이럴 때 수학적 귀납법을 이용하면 유용하다. 스틱정리는 본 블로그 파스칼의 삼각형 참고 이전 1 ··· 7 8 9 10 11 12 다음
