수학(Math) 그리고 여행과 등산

고등학교 과정에서 다소 어려운 내용일 수는 일지만 수학을 깊이 공부하고자 하는 학생이라면 알아두면 도움이 될 수 있는 내용이다.적분단원에서 함수가 x축과 이루는 넓이는 많이 나오는 내용이다.어느 정도 공부하는 학생이라면즉,라는 것을 알고 있다.조금 더 나아가면,그러면 이러한 형태를 일반화시킬 수는 없을까?x축과 두 점에서 만나는 경우에 한하여 다음과 같이 일반화시킬 수 있다.수리논술을 준비하는 학생이나 탐구논총이나 소논문을 준비하는 학생이라면 눈여겨볼 만한 내용이다.

니콜라우스 베르누이에게는 네 명의 아들이 있었는데 수학자 야곱 베르누이 (1654–1705), 화가이자 바젤 시의회 의원인 니콜라우스 베르누이(1662-1716), 수학자 요한 베르누이 (1667-1748), 약사인 히에로니무스 베르누이(1669-1760)이다.야곱과 요한은 당대 최고의 수학자로 수학과 물리학의 발전에 많은 기여를 한다. 이 가문은 17~18세기에 거쳐 8명의 수학 거장을 배출한 천재가문이다.아버지 니콜라스는 첫째 아들인 야곱은 당시 최고의 지식인으로 인정받는 신학자가 되기를 원했고 셋째 아들인 요한은 가업을 이을 약품사업가가 되기를 원하였다. 야곱은 아버지의 뜻에 따라 바젤대학에 입학하여 철학과 신학으로 석사학위를 받았지만 신학보다 수학과 천체물리학에 훨씬 더 관심이 많았다. 아버지 몰..

베르누이 家는 인류사에 유례가 없을 정도의 천재가문으로 일컬어지고 있는데 19세기 다윈의 진화론이 대두되고 우성유전학에 많은 관심을 갖게 되면서 많은 생물학자들이 앞다투어 이 가문의 유전자를 연구하기 위해 몰려들었다.수학과 과학에 막대한 영향을 끼친 이 가문에 대하여 시리즈로 알아보려고 한다.16세기 스페인 국왕 필립 2세는 남아메리카, 멕시코, 필리핀, 네덜란드, 이탈리아, 아프리카의 남서부, 인도, 인도네시아 등 광대한 영토를 이루며 스페인의 황금기를 이끌었다. 하지만 재정적으로는 어려움이 많아 점령한 왕국으로부터 많은 세금을 거둬들여야 했다.. 당시 베르누이 가문은 네덜란드의 플랑드르(Flandre)의 앤트워프(현재 벨기에)에 거주하고 있었는데 그 지역은 종교개혁의 영향으로 개신교의 세력이 강하였고..

기원전 4세기경부터 그리스에서는 원 이외에도 여러 가지 곡선에 관한 연구가 있었다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선은 흔히 원뿔곡선이라고 불리 우는데 이는 원뿔을 평면으로 잘랐을 때의 단면으로 나타나기 때문이다. 플라톤의 친구였던 유독소스의 제자 메나이크모스(Menaikhmos, B.C. 375~325)는 처음으로 원뿔곡선을 엄밀하게 정의하였다. 그 후, 아폴로니우스(Apollonius, B.C. 260~200?)는 에서 아래 그림과 같이 원뿔에서 기울기가 다른 평면으로 자른 단면에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 만들어진다는 것을 밝혔으며 포물선(parabola), 타원(ellipse), 쌍곡선(hyperbola)의 영어단어는 그리스어에서 유래되었으며 원뿔곡선에서 단면과 밑면이 이루는 각을 원뿔의 모서..

중단파를 이용하여 배나 항공기의 위치를 알아내는 장거리 무선 항법인 Loran(Long Range Nevigation)은 이차세계대전 중에 개발된 것으로 두 점으로부터의 거리 차가 일정하다는 쌍곡선의 원리를 이용한 것으로 쌍곡선 항법이라고도 한다. 쌍곡선 항법장치는 2개 이상의 로란 기지국에서 발사되는 전파를 수신기로 수신하여 그 전파의 도래 시간을 측정하고, 로란 지도상에 위치 선을 결정하고 교점을 구하여 현재의 위치를 결정하는 항법장치로 장거리 항법에 많이 사용된다. Loran은 전파를 이용하므로 시간, 날씨의 영향을 받지 않고 이용범위도 1,200마일 정도로 매우 넓다. Loran 시스템은 선박이나 항공기 산업 분야의 항법 유도 시스템으로 인기가 있었지만 최근엔 소형기에서는 , 여객기는 관성 항법장..

타원에서 입사각과 반사각이 같음을 확인해 보자. 위의 그림에서 안쪽이 거울로 되어 있는 타원의 한 초점에 광원을 두면, 에서 나오는 광선은 타원에서 반사되어 또 하나의 초점인에 도달한다. 이것은 17세기에 증명되었는데 치과병원에서 환자를 치료할 때 환자의 입속이 잘 보이게 타원 반사경을 이용한다. 열도 빛과 같은 법칙으로 반사하므로, 위의 경우 한 초점에 열원을 놓으면 또 다른 초점으로 열이 모이게 된다. 이러한 원리를 이용하여 직화가 아닌 방법으로 음식을 조리할 수 있다. 소리도 빛과 열과 같은 반사법칙을 따른다. 미국 국회의사당의 내셔널 스태츄어리 홀(Nation Statuary Hall), 영국 런던의 세인트 폴 대성당의 속삭이는 화랑은 타원의 성질을 이용하여 설계된 건물로 한 초점의 위치에서 두 ..

우리가 생활하는 자연 속에서 피보나치 수열은 신기할 정도로 많이 존재한다. 그중에서도 꽃과 꽃잎에서 피보나치 수열을 많이 발견할 수 있는데 어떤 것들이 있는지 살펴보자. 이 수열은 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선구조에도 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 ‘신의 비율’인 황금비를 만들어낸다. 황금비는 피라미드 파르테논신전이나 다빈치, 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 담뱃갑의 가로 세로 비율까지 광범위하게 쓰인다. 그러나 인간만 황금비를 아름답게 느끼는 것은 아니다. 황금비는 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도에도 있다. 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체의 비율도 황금비이다. 이런 사례를 찾다 보면 우주가 피보나치수열의 장난으로 만..

피보나치 수열은 고등학교 과정에서 꼭 알아야 하는 중요한 수열입니다. 피보나치 수열의 일반항은 고등학교 교육과정에서 다루지는 않지만 심화과정을 원하는 학생이면 알아두는 것이 좋습니다. 그러면 피보나치 수열의 일반항 구하는 과정을 알아보도록 하겠습니다.

이와 같이 곡선이 x축과 이루는 넓이를 직사각형으로 분할하여 곡선의 넓이를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다.