수학(Math) 그리고 여행과 등산

고등학교 과정에서 다소 어려운 내용일 수는 일지만 수학을 깊이 공부하고자 하는 학생이라면 알아두면 도움이 될 수 있는 내용이다.적분단원에서 함수가 x축과 이루는 넓이는 많이 나오는 내용이다.어느 정도 공부하는 학생이라면즉,라는 것을 알고 있다.조금 더 나아가면,그러면 이러한 형태를 일반화시킬 수는 없을까?x축과 두 점에서 만나는 경우에 한하여 다음과 같이 일반화시킬 수 있다.수리논술을 준비하는 학생이나 탐구논총이나 소논문을 준비하는 학생이라면 눈여겨볼 만한 내용이다.

기원전 4세기경부터 그리스에서는 원 이외에도 여러 가지 곡선에 관한 연구가 있었다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선은 흔히 원뿔곡선이라고 불리 우는데 이는 원뿔을 평면으로 잘랐을 때의 단면으로 나타나기 때문이다. 플라톤의 친구였던 유독소스의 제자 메나이크모스(Menaikhmos, B.C. 375~325)는 처음으로 원뿔곡선을 엄밀하게 정의하였다. 그 후, 아폴로니우스(Apollonius, B.C. 260~200?)는 에서 아래 그림과 같이 원뿔에서 기울기가 다른 평면으로 자른 단면에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 만들어진다는 것을 밝혔으며 포물선(parabola), 타원(ellipse), 쌍곡선(hyperbola)의 영어단어는 그리스어에서 유래되었으며 원뿔곡선에서 단면과 밑면이 이루는 각을 원뿔의 모서..

중단파를 이용하여 배나 항공기의 위치를 알아내는 장거리 무선 항법인 Loran(Long Range Nevigation)은 이차세계대전 중에 개발된 것으로 두 점으로부터의 거리 차가 일정하다는 쌍곡선의 원리를 이용한 것으로 쌍곡선 항법이라고도 한다. 쌍곡선 항법장치는 2개 이상의 로란 기지국에서 발사되는 전파를 수신기로 수신하여 그 전파의 도래 시간을 측정하고, 로란 지도상에 위치 선을 결정하고 교점을 구하여 현재의 위치를 결정하는 항법장치로 장거리 항법에 많이 사용된다. Loran은 전파를 이용하므로 시간, 날씨의 영향을 받지 않고 이용범위도 1,200마일 정도로 매우 넓다. Loran 시스템은 선박이나 항공기 산업 분야의 항법 유도 시스템으로 인기가 있었지만 최근엔 소형기에서는 , 여객기는 관성 항법장..

타원에서 입사각과 반사각이 같음을 확인해 보자. 위의 그림에서 안쪽이 거울로 되어 있는 타원의 한 초점에 광원을 두면, 에서 나오는 광선은 타원에서 반사되어 또 하나의 초점인에 도달한다. 이것은 17세기에 증명되었는데 치과병원에서 환자를 치료할 때 환자의 입속이 잘 보이게 타원 반사경을 이용한다. 열도 빛과 같은 법칙으로 반사하므로, 위의 경우 한 초점에 열원을 놓으면 또 다른 초점으로 열이 모이게 된다. 이러한 원리를 이용하여 직화가 아닌 방법으로 음식을 조리할 수 있다. 소리도 빛과 열과 같은 반사법칙을 따른다. 미국 국회의사당의 내셔널 스태츄어리 홀(Nation Statuary Hall), 영국 런던의 세인트 폴 대성당의 속삭이는 화랑은 타원의 성질을 이용하여 설계된 건물로 한 초점의 위치에서 두 ..

피보나치 수열은 고등학교 과정에서 꼭 알아야 하는 중요한 수열입니다. 피보나치 수열의 일반항은 고등학교 교육과정에서 다루지는 않지만 심화과정을 원하는 학생이면 알아두는 것이 좋습니다. 그러면 피보나치 수열의 일반항 구하는 과정을 알아보도록 하겠습니다.

이와 같이 곡선이 x축과 이루는 넓이를 직사각형으로 분할하여 곡선의 넓이를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다.

17세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 미적분학이 확립되기 이전 넓이, 부피를 구하는 개념으로 16세기 카발리에리가 발표한 불가 분량의 방법을 이용한 카발리에리의 원리를 빼놓을 수 없다. 이탈리아의 수학자 카발리에리(Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598~1647)는 갈릴레이 갈릴레오의 제자로 볼로냐 대학에서 20여 년간 수학 교수를 지냈다. 1635년 에서 미적분학의 전 단계인 불가 분량의 방법을 다루고 있는데 주어진 평면도형의 불가 분량(더 이상 쪼갤 수 없는 양)은 그 도형의 현이고, 그 평면도형은 평행한 무한히 많은 선분의 집합으로 이루어진 것으로 생각하였다. 마찬가지로 주어진 공간도형의 불가 분량은 그 도형의 단면이고, 그 공간도형은 평행한 무한히 많은 단면의 집합으로 이..

아르키메데스는 에서 한 포물선과 그 포물선을 자르는 현에 의해 생기는 도형의 면적은 밑면이 현이고 다른 한 꼭짓점은 포물선 위의 점으로 그곳에서의 접선이 현과 평행이 되도록 내접하는 삼각형 면적의 4/3가 된다는 것을 보였다. 이 문제는 현재 무한급수의 합을 구하는 문제로 최초로 무한급수의 합을 구한 셈이 되었다.