수학(Math) 그리고 여행과 등산

니콜라우스 베르누이에게는 네 명의 아들이 있었는데 수학자 야곱 베르누이 (1654–1705), 화가이자 바젤 시의회 의원인 니콜라우스 베르누이(1662-1716), 수학자 요한 베르누이 (1667-1748), 약사인 히에로니무스 베르누이(1669-1760)이다.야곱과 요한은 당대 최고의 수학자로 수학과 물리학의 발전에 많은 기여를 한다. 이 가문은 17~18세기에 거쳐 8명의 수학 거장을 배출한 천재가문이다.아버지 니콜라스는 첫째 아들인 야곱은 당시 최고의 지식인으로 인정받는 신학자가 되기를 원했고 셋째 아들인 요한은 가업을 이을 약품사업가가 되기를 원하였다. 야곱은 아버지의 뜻에 따라 바젤대학에 입학하여 철학과 신학으로 석사학위를 받았지만 신학보다 수학과 천체물리학에 훨씬 더 관심이 많았다. 아버지 몰..

베르누이 家는 인류사에 유례가 없을 정도의 천재가문으로 일컬어지고 있는데 19세기 다윈의 진화론이 대두되고 우성유전학에 많은 관심을 갖게 되면서 많은 생물학자들이 앞다투어 이 가문의 유전자를 연구하기 위해 몰려들었다.수학과 과학에 막대한 영향을 끼친 이 가문에 대하여 시리즈로 알아보려고 한다.16세기 스페인 국왕 필립 2세는 남아메리카, 멕시코, 필리핀, 네덜란드, 이탈리아, 아프리카의 남서부, 인도, 인도네시아 등 광대한 영토를 이루며 스페인의 황금기를 이끌었다. 하지만 재정적으로는 어려움이 많아 점령한 왕국으로부터 많은 세금을 거둬들여야 했다.. 당시 베르누이 가문은 네덜란드의 플랑드르(Flandre)의 앤트워프(현재 벨기에)에 거주하고 있었는데 그 지역은 종교개혁의 영향으로 개신교의 세력이 강하였고..

우리가 생활하는 자연 속에서 피보나치 수열은 신기할 정도로 많이 존재한다. 그중에서도 꽃과 꽃잎에서 피보나치 수열을 많이 발견할 수 있는데 어떤 것들이 있는지 살펴보자. 이 수열은 식물뿐 아니라 고둥이나 소라의 나선구조에도 나타난다. 그리고 이 수열은 운명적으로 ‘신의 비율’인 황금비를 만들어낸다. 황금비는 피라미드 파르테논신전이나 다빈치, 미켈란젤로의 작품에서 시작해 오늘날에는 신용카드와 담뱃갑의 가로 세로 비율까지 광범위하게 쓰인다. 그러나 인간만 황금비를 아름답게 느끼는 것은 아니다. 황금비는 태풍과 은하수의 형태, 초식동물의 뿔, 바다의 파도에도 있다. 배꼽을 기준으로 한 사람의 상체와 하체, 목을 기준으로 머리와 상체의 비율도 황금비이다. 이런 사례를 찾다 보면 우주가 피보나치수열의 장난으로 만..

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하는 것을 의미하며 고대 그리스시대부터 수학자들은 도형을 그리기 위해 작도에 많은 관심이 있었다. 작도가 불가능한 세 가지가 밝혀졌는데 그것이 무엇인지 알아보자. 1) 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체의 한 모서리의 길이를 작도하라. 델리안 문제(Doubling the cube, The Delian Problem) 델로스(Delos) 섬사람들에 관한 이야기에서 이름이 유래했다. 기원전 430년경에 그리스의 델로스섬에 전염병이 돌아 수많은 사람이 죽었다. 델로스 사람들은 평소 숭배하던 아폴로 신의 노여움 때문이라고 생각하고 신탁으로 유명한 고대 그리스의 도시국가 델포이(Delphi)의 오라클(고대 그리스에서 신들의 대답(신탁, 神託)을 전하는 사제)과 상의..

지오데식 돔은 아르키메데스의 정다면체 중 깎은 정이십면체의 형태인 육각형과 오각형으로 연결된 구조로 자연계에도 존재하고 건축에서도 활용된다. 자연계에서는 바이러스를 전자현미경으로 확대해 보면 많은 육각형과 오각형이 연결되어 있음을 알 수 있다. 또, 이는 건축에서도 활용되는데 1940년대 미국의 건축가 리처드 벅민스터 풀러(Richard Buckminster Fuller, 1895-1983)는 지오데식 돔(geodesic dome)이란 구조물을 고안했다. 내부에 기둥이 없는 구 모양의 건축물로 실내체육관이나 전시회장으로 많이 사용된다. 지오데식 돔의 건축 형태는 전통 건축물보다 훨씬 적은 재료를 사용해서 더 큰 공간을 얻을 수 있을 뿐 아니라, 기둥이 없으면서도 매우 튼튼한 특성을 갖고 있어 지진이나 다..

드 메레(Chevalier de Mere)는 당시 명성이 높은 수학자 파스칼(Pascal, 1623~1662)에게 ‘도박 중 게임이 중단되었을 때 판돈을 어떻게 나누는 것이 가장 합리적인가?’라는 문제를 제기했다. 메레가 편지에서 파스칼에게 의뢰한 문제는 어느 한 사람과 32 피스톨(유럽의 옛 금화)씩 판돈을 걸고 이긴 사람이 64 피스톨을 갖는 주사위 게임을 하고 있었다. 자기가 선택한 수가 먼저 3회 나오면 이기는 것으로 정하고 두 사람이 주사위 굴리기를 계속해서 메레가 선택한 수 6이 2회, 상대방이 선택한 수 4가 1회 나온 상황에서 부득이한 사정으로 게임을 중단하게 되었다. 이 경우 판돈 64 피스톨을 어떻게 분배할 것인가? 메레의 상대 선수는 다음과 같이 주장했다. 메레는 나머지 1회, 자신은..

소수 관련 미해결 난제가 많이 남아있는데 그중 대표적인 것은 골드바흐의 추측이다. 크리스티안 골드바흐(Christian Goldbach, 1690~1764)는 자신이 생각한 추측을 오일러에게 편지로 보내는데 그것이 골드바흐의 추측이다. 이 문제는 20세기 수학계 최대의 난제 중 하나로 힐베르트가 제안한 23개의 난제에 포함되어 있다. 골드바흐의 강한 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 골드바흐의 약한 추측: 5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 골드바흐가 처음 제안한 추측은 ‘2보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다’로 골드바흐의 약한 추측과 동치이다. 당시 골드바흐는 1을 소수로 간주하였다. 강한 추측이 참이면 약한 추측은 참이지만 그..

영화 뷰티풀 마인드(A Beautiful Mind)는 수학자 존 내쉬(John Forbes Nash, 1928~2015)의 일대기를 그린 영화입니다. 존 내쉬는 미국의 수학자로 22세에 박사 논문으로 쓴 으로 1994년 66세가 되어서 게임이론에 중요한 역할을 한 이 논문으로 노벨경제학상을 수상하였다. 또, 2015년엔 편미분방정식을 통한 다양체 연구에 대한 업적으로 아벨상을 수상하였다. 30대 초반 필즈상 후보에 올랐으나 아직 젊어 나중에 얼마든지 수상할 기회가 있을 것으로 생각하여 다른 후보에게 필즈상을 주었는데 그 이후에 조현병이 발병되면서 필즈상은 받지 못하였다. 존 내시가 대학원에 진학할 때 당시 지도교수였던 Richard Duffin이 ‘이 학생은 수학 천재입니다(he is a mathemat..

오일러(Leonhard Paul Euler, 1707~1783)는 스위스 바젤에서 태어나 평생 수학 연구에 매진하여 매우 광범위한 수학, 물리학, 천문학에 업적을 남겼는데 특히 수학 분야에서는 3대 수학자인 가우스, 아르키메데스, 뉴턴과 비교해도 손색이 없을 정도로 많은 업적을 남겼다. 오일러는 오일러의 아버지와 요한 베르누이와의 친분으로 요한 베르누이에게 수학을 배웠으며 무명의 청년 시절 80여 년간 미해결문제였던 바젤 문제를 해결하면서 유명해졌다. 중학교 수학 교과서에 나오는 ‘쾨니히스베르크의 다리’문제는 당시 유럽에서 많은 화제가 되어 당시 유명인사뿐만아니라 언론에서도 이 내용을 다루며었지만 해결되지 않아 자신의 생각을 이야기하면서 갑론을박(甲論乙駁)이 벌어졌던 모양입니다. 급기야, 바젤문제 해결로..

아르키메데스(Archimedes B.C.287~B.C.212)는 이탈리아 시칠리아섬에 있던 옛 그리스 도시 시러큐스(syracuse)에서 태어났다. 당시 학문의 중심지였던 이집트의 알렉산드리아의 왕립학교에서 공부하였으며 코논 (Conon, B.C. 260년경)에게 기하학을 배웠다. 알렉산드리아에서 공부하던 중 나선의 원리를 응용해 나선식 펌프를 발명하기도 하였다. 그 후 자신의 고향인 시러큐스로 돌아와 많은 책을 저술하였으며 자신의 조국인 시러큐스를 로마군으로부터 지키기 위해 고군분투하다가 시러큐스에서 생을 마감한다. 어려서 천문학자인 아버지에게 천문관측을 배우고 자신이 터득한 이론을 실용화하고 응용하는데 천부적인 재능을 발휘한다. 아르키메데스 관련한 일화가 많이 있지만 가장 유명한 일화 중 하나는 부력..