오일러, 급수의 난제 바젤 문제를 풀고 유명해지다.

바젤문제는

의 극한값을 구하는 문제이다.

 

이 문제는 1650년 이탈리아 수학자 피에트로 멩골리(Pietro Mengoli)에 의해 처음 제기되었다.

당시에는 관심을 끌지 못하다가 스위스 바젤시의 바젤대학에 재직하던 야곱 베르누이에 의해 다시 제기되어 관심을 끌게 되었고 바젤대학에서 유래되었다고 하여 바젤문제라는 이름과 함께 세상에 관심을 받게 된다.

당시 수학계는 조화급수에 관심이 높았던 시기이다. 베르누이형제는 2보다 작은 수라는 것은 알았지만 그 값이 얼마인지는 구하지 못하였다. 라이프니츠 역시 그 값을 구하지 못하였다. 이 문제는 무려 80여 년 동안 많은 수학자가 해결하지 못한 난제였으나 요한 베르누이의 제자였던 스위스의 무명 젊은 수학자 레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)가 이 문제를 증명하면서 오일러는 유명해지기 시작하였다.

테일러 급수를 이용하면

 

 

로 놓으면

는

 

 

 

인 무한 다항식이 된다.

 

이라면

 

 

 

여기서

 

이므로

 

이 되기 위해서는

 

이 되어야 한다.

따라서,

 

이제,

 

이고

 

를 해로 갖는 무한 다항식은

 

 

로 나타낼 수 있다.

 

결국, 

 

 

 

 

 

 

양변의

 

의 계수를 비교하면

따라서,

 

당시 무명의 젊은 오일러는 바젤문제를 증명하면서 유명해지기 시작하였는데

이는 훗날 오일러의 곱셈공식, 제타함수로 정의되면서 리만 가설의 리만 가설의 중요한 함수가 된다.