아르키메데스의 정다면체

아르키메데스의 정다면체

정다면체는 각 면이 모두 합동인 정다각형으로 이루어져 있고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말한다. 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 다섯 가지가 있는데 고대 그리스 시대 피타고라스학파가 발견한 것으로 알려져 있다. 고대 그리스의 철학자 플라톤은 다섯 개의 정다면체에 특별한 의미를 부여하여 세상을 구성하는 다섯 요소와 연결하였고, 그러한 이유로 정다면체를 플라톤의 입체라고도 한다. 

아르키메데스는 이러한 정다면체를 변형시켜 각 면이 두세 가지의 정다각형이지만 모든 꼭짓점에 모인 면의 개수는 같고 어느 방향에서 보아도 모양이 같은 대칭 조건을 만족하는 도형을 생각하였으며 이를 아르키메데스의 다면체, 즉 준정다면체라고 한다. 아르키메데스가 13가지 모양을 발견하였다고 알려져 있었으나 그 모양은 알 수 없었는데 케플러가 13가지 모양을 모두 찾아냈다. 육팔면체, 십이십면체, 깎은 정사면체, 깎은 정육면체, 깎은 정팔면체, 깎은 정십이면체, 깎은 정이십면체, 마름모 육 팔면체, 마름모 십이이십면체, 다듬은 육팔면체, 다듬은 십이이십면체, 깎은 육팔면체, 깎은 십이이십면체이다.

우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 깎은 정이십면체가 축구공 모양인데 깎은 정이십면체에 대해 알아보자.

오각형과 육각형이 연결된 아르키메데스의 깎은 정이십면체

정20면체

 

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깎은 정이십면체

정이십면체는 20개의 정삼각형과 12개의 꼭짓점으로 이루어져 있으며 각 꼭짓점에는 정삼각형이 5개씩 모여 있다. 축구공을 만들기 위하여 우선 정이십면체의 각 모서리를 3등분하고, 각 꼭짓점을 중심으로 잘라낸다. 
한 꼭짓점에 5개씩의 정삼각형이 모여 있으므로 잘라낸 면은 정오각형이 되며, 이러한 정오각형은 꼭짓점의 개수만큼인 12개가 생긴다. 또 원래 있던 20개의 정삼각형은 세 꼭짓점에서 각각 잘리게 되므로 정육각형이 된다.
이렇게 해서 만들어진 것이 12개의 정오각형과 20개의 정육각형으로 이루어진 깎은 정이십면체로, 이것이 축구공 모양이다. 현재와 같이 32개의 면을 갖는 축구공의 원조는 1970년 멕시코 월드컵에 등장한 텔스타(telstar)이다. 
축구공을 만드는 과정이 단순해 보이지만 첨단과학을 이용하여 반발력, 회전력, 탄력을 증가시키고 있다.