수학으로 본 세 명의 총잡이 결투(게임이론)

세 명의 총잡이가 서로 결투를 벌인다.

- Mr. Black은 명중률 100%이다.
- Mr. Gray는 명중률 70%이다.
- Mr. White는 명중률 30%이다.

세 명의 총잡이들은 서로의 사격 실력을 알고 있다. 서로의 실력 차를 고려하여 White-Gray-Black 순으로 총을 쏘고 한 번에 한 발만 쏠 수 있다.
총알은 무한하며 한 사람만 살아날 때까지 결투는 계속된다.
이때, Mr. White는 생존률을 높이기 위해 어떻게 쏴야 하는가?

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화이트가 선공의 기회를 갖고 있으므로 블랙과 그레이중 누굴 쏠 것인지 선택해야 한다.

블랙을 명중시킨 경우, 그레이를 명중시킨 경우, 명중시키지 못한 경우, 세 가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.

ⅰ) 화이트가 블랙을 쏴 성공한 경우
그레이가 선제공격을 하게 된다.
화이트가 생존할 경우는 그레이가 실패하고 화이트 성공, 또는 그레이 실패하고 화이트 실패하고 그레이 실패하고 화이트 성공, ···화이트가 생존하는 경우는 이런 식으로 반복되어야 한다.  표로 나타낸 것이다.

	1회	2회	3회	4회	···
그레이	X	X	X	X
화이트	O	O	O	O

이를 식으로 나타내면

위의 식은 화이트가 블랙을 명중시킨 후 그레이와 결투에서 살아남을 확률

ⅱ) 화이트가 그레이를 쏴 성공한 경우
블랙이 먼저 공격을 하게 된다. 블랙의 명중률은 100%이므로 생존할 확률은 0%이다.

ⅲ) 화이트가 누구도 명중시키지 못한 경우
이 경우는 다음 차례인 그레이가 자신이 살아남을 확률을 높이기 위해 블랙을 쏴야한다. 블랙을 명중시킬 경우와 그렇지 않은 경우로 생각해 볼 수 있다.

(1) 그레이가 블랙을 명중시키지 못한 경우
다음 차례인 블랙은 명중률이 높은 그레이를 먼제 제거한다. 다음 차례인 화이트는 자신이 성공하지 못하면 살아남을 수 없어 살아남는 경우는 명중시키는 경우이다.
따라서, 살아남을 확률은 30%이다.

(2) 그레이가 블랙을 명중시킨 경우
화이트가 선제 공격권을 갖고 살아남기 위해서는 화이트가 성공할 때까지 그레이는 계속 실패해야한다.

	1회	2회	3회	4회	···
그레이		X	X	X
화이트	O	O	O	O

이를 식으로 나타내면

위의 식은 화이트가 명중시키지 못하고 그레이가 블랙을 명중시킨 후 화이트가 살아남을 확률

(1), (2)의

(1)에서 그레이가 블랙을 명중시키지 못하고 화이트가 블랙을 명중시킨 경우이므로

0.3×0.3=0.09

(2)에서 그레이가 블랙을 명중시키고 화이트가 살아남을 확률이 37.97%이므로

0.7×0.3797=0.2658

(1)또는 (2)이므로

0.09+0.2658=0.3558 즉, 35.58%이다.

ⅰ),ⅱ),ⅲ)에서 화이트가 살아남을 확률이 가장 높은 경우는 ⅲ)으로 누구도 명중시키지 않는 것이다. 따라서 화이트는 처음 순서에서 허공에 대고 쏘는 것이 살아남을 확률이 가장 높다.

게임이론은 20세기에 이루어진 경제학의 발전 중 가장 중요한 성과의 하나이다. 게임이론은 산업조직론, 공공경제학 등 다양한 분야에 도입되어 질적인 도약을 가져왔으며 1970년대 이후에는 정보경제학(Information Economics)이라는 새로운 분야의 탄생을 가져왔다. 또한, 경제학을 넘어 정치학, 외교학, 사회학, 생물학 등 다양한 학문에 접목되어 이용되었다.

최근 게임이론은 IT분야에서 많이 활용되고 있는데 암호화폐, 인공지능에서도 이용된다. 비트코인에서 비잔티움 장애 허용이 게임이론이다. 인공지능에서는 딥러닝에 쓰이는 생산적 대립 신경망(Generative Adversarial Network; GAN)은 게임이론 중 제로섬게임을 이용한 것이다. 이외에 자율주행차에서도 많이 이용되고 점차 그 범위가 확대되는 추세이다.