3대 작도 불가능 문제

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용하는 것을 의미하며 고대 그리스시대부터 수학자들은 도형을 그리기 위해 작도에 많은 관심이 있었다. 작도가 불가능한 세 가지가 밝혀졌는데 그것이 무엇인지 알아보자.

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1) 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체의 한 모서리의 길이를 작도하라.

델리안 문제(Doubling the cube, The Delian Problem)
델로스(Delos) 섬사람들에 관한 이야기에서 이름이 유래했다. 기원전 430년경에 그리스의 델로스섬에 전염병이 돌아 수많은 사람이 죽었다. 델로스 사람들은 평소 숭배하던 아폴로 신의 노여움 때문이라고 생각하고 신탁으로 유명한 고대 그리스의 도시국가 델포이(Delphi)의 오라클(고대 그리스에서 신들의 대답(신탁, 神託)을 전하는 사제)과 상의하여 아폴로가 보낸 전염병을 물리치길 원했다.

델로스 사람들은 신탁을 받은 오라클에게서 아폴론의 제단 크기를 그보다 더 큰 두 배의 크기로 늘려서 만들어야 한다는 대답을 들었다. 델로스섬사람들은 즉시 기존 제단 옆에 같은 크기의 제단을 만들었다. 하지만 전염병은 그치질 않았다. 부피는 두 배가 되었지만 제단은 정육면체가 아니었다. 이를 깨달은 델로스 섬사람들은 다시 제단의 한 모서리 길이의 두 배가 되는 제단을 만들었다. 그렇지만 이번에도 전염병은 사라지지 않았다. 제단은 정육면체로 되었지만 부피는 여덟 배가 된 것이다. 이를 깨달은 델로스섬사람들은 자신들이 해결하기 어려운 문제임을 알고 이를 해결하기 위해 플라톤과 상의했다. 

오라클이자 <영웅전>의 저자로 유명한 플루타르크(Plutarch, 46~119)에 따르면, 플라톤(Plato)은 이 문제를 해결함에 있어 순수한 기하학을 이용하지 않고 기술적인 방법으로 문제를 해결하려는 자신의 제자와 친구인 에우독소스(Eudoxus), 아르키타스(Archytas), 메나이크모스(Menaechmus)를 크게 책망하였다고 전해진다.

아폴론 신은 예언을 관장하고 있어 델포이의 아폴론 신전은 올림피아의 제우스 신전과 함께 신탁으로 유명하고 그리스 종교중심지가 되었다. 델포이의 아폴론 신전은 아폴론 신의 여사제이자 예언자인 피티아가 신탁의 결과를 말하면 오라클이 이를 받아 적고 해석하여 의뢰한 사람에게 전달하였는데 피티아의 예언은 아주 난해하고 애매하여 delphic(애매하다)이라는 단어가 여기서 유래하였다고 한다.

한 모서리의 길이가 2인 정육면체의 부피는 8이다. 부피가 2배인 16이 되기 위해서는 한 모서리의 길이가

이 되어야 한다. 

그리스인들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용하여 정육면체 부피의 두 배가 되는 정육면체를 작도하기 위해 노력하였으나 결국 실패하였다.
자와 컴퍼스만 이용한 것은 아니지만 메나이크모스(Menaikhmos)가 원뿔곡선인 포물선과 쌍곡선의 교점을 이용한 것과  두 개의 포물선의 교점을 이용한 두 개의 해답을 찾아내자 기원전 340년까지 계속된 전염병은 그제야 멈췄다고 한다. 

2) 주어진 각의 3등분각을 작도하라. (Trisecting an angle)

눈금없는 자와 컴퍼스를 이용하여 3등분 각을 작도가능한 각도 있지만 작도가 되지 않는 각도 있다. 그동안 번거로운 정도로 많은 수학자가 문제를 해결했다고 주장하였다. 
19세기 프랑스 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantze, 1814~1848)은 컴퍼스와 눈금 없는 자만으로 작도가 불가능하다는 것을 증명하여 더 이상의 논란은 없었다.

3) 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하라. (Squaring the circle)

반지름이 r인 원의 넓이는

인데 정사각형과 넓이가 같기 위해서는 정사각형이 한 변의 길이가

이 되어야 한다.

이 문제는 19세기 수학자 린데만에 의해

가 초월수(대수적이지 않은 수로 유리 계수인 다항 방정식의 해가 될 수 없는 수) 라는 사실이 증명되면서 논란이 종료되었다.